三棱锥 A−BCD 的顶点 A,B,C,D 均在球 O 的球面上,且 ∠ACB=∠ADB=90∘,∠CAO=∠DAO=30∘,AB=4,则三棱锥 A−BCD 体积的最大值为_______.
答案 2.
解析 设 AB 的中点为 M,则由 ∠ACB=∠ADB=90∘ 可得MA=MB=MC=MD,
于是 M=O,进而由 ∠CAO=∠DAO=30∘ 可得 Rt△CAB 与 Rt△DAB 全等,进而三棱锥 A−BCD 体积[A−BCD]=13⋅d(C,ABD)⋅[△ABD]⩽13⋅d(C,AB)⋅[△ABD]=13⋅4cos30∘sin30∘⋅(12⋅2⋅2√3)=2,
等号当 CO⊥ABD 时取得,因此三棱锥 A−BCD 体积的最大值为 2.