每日一题[2696]合页

三棱锥 ABCD 的顶点 A,B,C,D 均在球 O 的球面上,且 ACB=ADB=90CAO=DAO=30AB=4,则三棱锥 ABCD 体积的最大值为_______.

答案    2

解析    设 AB 的中点为 M,则由 ACB=ADB=90 可得MA=MB=MC=MD,

于是 M=O,进而由 CAO=DAO=30 可得 RtCABRtDAB 全等,进而三棱锥 ABCD 体积[ABCD]=13d(C,ABD)[ABD]13d(C,AB)[ABD]=134cos30sin30(12223)=2,
等号当 COABD 时取得,因此三棱锥 ABCD 体积的最大值为 2

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