每日一题[2694]分而治之

已知函数 f(x)=exaln(x+1)1,其中 aRe 是自然对数的底数.

1、若 f(x) 单调递增,求 a 的取值范围.

2、若 a=1,判断函数 g(x)=f(x)sinx 的零点个数. (参考数据:ln20.693e2.718

解析

1、根据题意,有函数 f(x) 的导函数f(x)=exax+10,讨论分界点为 a=0

情形一     a0.此时符合题意.

情形二     a>0.此时取 x=min,则f'(x)\leqslant 1-\dfrac a{x+1}<-1,不符合题意.

综上所述,a 的取值范围是 (-\infty,0]

2、函数 g(x)={\rm e}^x-\ln (x+1)-1-\sin x,则 g(0)=0,且当 x<0 时,有 g(x) 的导函数g'(x)={\rm e}^x-\dfrac{1}{x+1}-\cos x<\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+1}-\cos x<0,因此 g(x)(-1,0) 上单调递减,没有零点. 当 x\geqslant 1 时,有g'(x)\geqslant {\rm e}-\dfrac 12-1>0,g(1)={\rm e}-\ln 2-1-\sin 1>2.7-0.7-1-1=0,因此 g(x)[1,+\infty) 上单调递增,没有零点. 当 0<x<1 时,有 g'(x)>0,而g'(0)=-1,\quad g'(1)>0,因此 g(x)(0,1) 上线单调递减,后单调递增,结合 g(0)=0g(1)>0,可得 g(x)(0,1) 上有唯一零点.

综上所述,函数 g(x) 的零点个数为 2

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每日一题[2694]分而治之》有一条回应

  1. Avatar photo yuanhongyi说:

    倒数第四行“线”应为“先”

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