已知函数 f(x)=ex−aln(x+1)−1,其中 a∈R,e 是自然对数的底数.
1、若 f(x) 单调递增,求 a 的取值范围.
2、若 a=1,判断函数 g(x)=f(x)−sinx 的零点个数. (参考数据:ln2≈0.693,e≈2.718)
解析
1、根据题意,有函数 f(x) 的导函数f′(x)=ex−ax+1⩾0,讨论分界点为 a=0.
情形一 a⩽0.此时符合题意.
情形二 a>0.此时取 x=min,则f'(x)\leqslant 1-\dfrac a{x+1}<-1,不符合题意.
综上所述,a 的取值范围是 (-\infty,0].
2、函数 g(x)={\rm e}^x-\ln (x+1)-1-\sin x,则 g(0)=0,且当 x<0 时,有 g(x) 的导函数g'(x)={\rm e}^x-\dfrac{1}{x+1}-\cos x<\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+1}-\cos x<0,因此 g(x) 在 (-1,0) 上单调递减,没有零点. 当 x\geqslant 1 时,有g'(x)\geqslant {\rm e}-\dfrac 12-1>0,而g(1)={\rm e}-\ln 2-1-\sin 1>2.7-0.7-1-1=0,因此 g(x) 在 [1,+\infty) 上单调递增,没有零点. 当 0<x<1 时,有 g'(x)>0,而g'(0)=-1,\quad g'(1)>0,因此 g(x) 在 (0,1) 上线单调递减,后单调递增,结合 g(0)=0,g(1)>0,可得 g(x) 在 (0,1) 上有唯一零点.
综上所述,函数 g(x) 的零点个数为 2.
倒数第四行“线”应为“先”