每日一题[2690]隐零点

已知函数 $f(x)=\dfrac{a \ln x+1}{x}$（$a \in \mathbb{R}$），$g(x)=\mathrm{e}^{x}-1$．

1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．

2、若 $f(\mathrm{e})=\dfrac{2}{\mathrm{e}}$，求证：$g(x) \geqslant f(x)$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{-a\ln x+a-1}{x^2}.\] 当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left(0,{\rm e}^{1-\frac 1a}\right)$ 上单调递增，在 $\left({\rm e}^{1-\frac 1a},+\infty\right)$ 上单调递减； 当 $a= 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R^+$ 上单调递减； 当 $a<0$ 时，函数在 $\left(0,{\rm e}^{1-\frac 1a}\right)$ 上单调递减，在 $\left({\rm e}^{1-\frac 1a},+\infty\right)$ 上单调递增．

2、若 $f\left({\rm e}\right)=\dfrac2{\rm e}$，则 $a=1$，欲证不等式即\[{\rm e}^x-1\geqslant \dfrac{\ln x+1}{x}\iff x{\rm e}^x-x-\ln x\geqslant 1,\]设不等式左侧函数为 $g(x)$，则 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)=\dfrac{(x+1)\left(x{\rm e}^x-1\right)}{x},\]注意到 $y=x{\rm e}^x$ 在 $\mathbb R^+$ 上单调递增，因此 $g'(x)$ 在 $\mathbb R^+$ 上有唯一零点，记为 $m$，进而 $g(x)$ 在 $(0,m)$ 上单调递减，在 $(m,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=m$ 处取得极小值也为最小值\[g(m)=m{\rm e}^m-m-\ln m,\]其中 $m$ 满足 $m{\rm e}^m-1=0$，即 $\ln m=-m$，因此 $g(m)=0$，从而函数 $g(x)$ 的最小值为 $1$，原不等式得证．