每日一题[2687]同构函数

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{m x}+x-x \ln x$（$m \geqslant 0$）．

1、当 $m=1$ 时，求 $f(x)$ 在 $[1, \mathrm{e}]$ 上的值域．

2、设函数 $f(x)$ 的导函数为 $f^{\prime}(x)$，讨论 $f^{\prime}(x)$ 零点的个数．

解析

1、当 $m=1$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)={\rm e}^x-\ln x,$$ 而 $${\rm e}^x\geqslant x+1>x-1\geqslant \ln x,$$ 于是函数 $f(x)$ 在 $[1,{\rm e}]$ 上单调递增，因此 $f(x)$ 在 $[1,{\rm e}]$ 上的值域为 $[f(1),f({\rm e})]$，即 $\left[{\rm e}+1,{\rm e}^{\rm e}\right]$．

2、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=m{\rm e}^{mx}-\ln x=\dfrac{mx{\rm e}^{mx}-x\ln x}{x}=\dfrac{g(mx)-g(\ln x)}{x},$$ 其中 $g(x)=x{\rm e}^x$．

当 $x\in(0,1]$ 时，有 $$f'(x)>m{\rm e}^{mx}>0,$$ 因此 $f'(x)$ 在此区间上不存在零点．

当 $x>1$ 时，有 $mx,\ln x\in (0,+\infty)$，而 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，于是 $$f'(x)=0\iff mx=\ln x\iff m=\dfrac{\ln x}{x},$$ 设 $h(x)=\dfrac{\ln x}{x}$，则其导函数 $$h'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x},$$ 于是 $$\begin{array}{c|ccccc}\hline x&0+&(0,{\rm e})&{\rm e}&({\rm e},+\infty)&+\infty\\ \hline h(x)&-\infty&\nearrow&\dfrac{1}{\rm e}&\searrow&0\\ \hline \end{array}$$ 注意到 $h(1)=0$，于是当 $m=0$ 或 $m=\dfrac{1}{\rm e}$ 时，$f'(x)$ 有 $1$ 个零点；当 $m\in\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$ 时，$f'(x)$ 有 $2$ 个零点；当 $m\in \left(\dfrac{1}{\rm e},+\infty\right)$ 时，$f'(x)$ 没有零点．