每日一题[2682]分离变量

已知函数 $f(x)=(x-1) \ln x+x^{2}-a x$．

1、当 $a=2$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性．

2、当 $x>0$ 时，$f(x) \geqslant x \ln x-{\rm e}^{x}$，求实数 $a$ 的取值范围．

解析

1、当 $a=2$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\ln x-\dfrac 1x+2x-1,$$ 注意到 $f'(1)=0$，且 $f'(x)$ 为单调递增函数，于是 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增．

2、根据题意，有 $$\forall x>0,a\leqslant \dfrac{{\rm e}^x-\ln x+x^2}{x},$$ 设右侧函数为 $g(x)$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{(x-1){\rm e}^x+x^2-1+\ln x}{x^2},$$ 设分子函数为 $h(x)$，则其导函数 $$h'(x)=x{\rm e}^x+2x+\dfrac 1x>0,$$ 于是 $h(x)$ 单调递增，结合 $h(1)=0$ 可得函数 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=1$ 时取得最大值 $$g(1)={\rm e}+1,$$ 因此实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty, {\rm e}+1]$．