每日一题[2680]隐零点

已知函数 $f(x)=x \ln x-3 x$．

1、求 $f(x)$ 的极值．

2、若不等式 $f(x) \geqslant m x^{2}-3 x+\dfrac{2}{m}$ 恒成立，求实数 $m$ 的最小值．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\ln x-2,$$ 于是函数 $f(x)$ 在 $x={\rm e}^2$ 处取得极小值 $-{\rm e}^2$．

2、根据题意，有

$$\forall x>0,\ln x-mx-\dfrac{2}{mx}>0,$$ 设左侧函数为 $g(x)$，则由 $g(1)=0$ 可得 $m<0$；$g(x)$ 的导函数 $$g'(x)=\dfrac{-mx^2+x\dfrac 2m}{x^2},$$ 于是函数 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有极小值点也为最小值点 $x_0$，且 $$-mx_0^2+x_0+\dfrac 2m=0,$$ 解得 $mx_0=2$（舍去）或 $mx_0=-1$，因此函数 $g(x)$ 的最小值为 $$g(x_0)=\ln x_0-mx_0-\dfrac2{mx_0}=\ln\left(-\dfrac 1m\right)+3,$$ 所以 $$g(x_0)\geqslant 0\iff -{\rm e}^3\leqslant m<0,$$ 从而实数 $m$ 的最小值为 $-{\rm e}^3$．