每日一题[2679]分离变量

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}(a-x)+x+1$．

1、若函数 $f(x)$ 的图象在区间 $[0,1]$ 上存在斜率为零的切线，求实数 $a$ 的取值范围．

2、当 $a=1$ 时，判断函数 $f(x)$ 零点的个数，并说明理由．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)={\rm e}^x(a-1-x)+1,$$ 于是题意即 $$\exists x\in [0,1],{\rm e}^x(a-1-x)+1=0,$$ 也即 $$\exists x\in [0,1],a=1+x-{\rm e}^{-x},$$ 记右侧函数为 $g(x)$，则 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，因此 $a$ 的取值范围是 $\left[g(0),g(1)\right]$，即 $\left[0,2-\dfrac{1}{\rm e}\right]$．

2、当 $a=1$ 时，方程 $f(x)=0$ 即

$${\rm e}^x(1-x)+x+1=0\iff \dfrac{x+1}{x-1}\cdot {\rm e}^{-x}=1,$$ 设左侧函数为 $h(x)$，则其导函数 $$h'(x)=-\dfrac{x^2+1}{(x-1)^2}{\rm e}^{-x},$$ 于是函数 $h(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 和 $(1,+\infty)$ 上均单调递减．注意到 $$h(-2)=\dfrac{{\rm e}^2}{3}>1>h(0)=-1,$$ 且 $$h(1.01)=\dfrac{202}{{\rm e}^{1.01}}>1>h(2)=\dfrac{3}{{\rm e}},$$ 因此方程 $h(x)=1$ 在 $(-\infty,1)$ 和 $(1,+\infty)$ 上各有唯一零点．

综上所述，函数 $f(x)$ 的零点个数为 $2$．