每日一题[2678]最值两手

已知 $\tan \alpha \tan \beta=1$，则 $\cos \alpha \cos \beta$ 的最大值为（       ）

A．$\dfrac{1}{2}$

B．$\dfrac{1}{4}$

C．$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

D．$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

答案    A．

解法一    根据题意，有

$$\tan\alpha=\tan\left(\dfrac{\pi}2-\alpha\right)\iff \alpha=\left(\dfrac{\pi}2-\beta\right)+k\pi,k\in\mathbb Z,$$ 于是 $$\cos\alpha\cos\beta=\cos\alpha\cos\left(\dfrac{\pi}2-\alpha+k\pi\right),$$ 其最大值即 $\left|\cos\alpha\cos\left(\dfrac{\pi}2-\alpha\right)\right|=\dfrac 12\left|\sin2\alpha\right|$ 的最大值，为 $\dfrac 12$．

解法二    注意到 $\tan^2x=1+\dfrac{1}{\cos^2 x}$，于是问题可以转化为已知 $ab=1$，$a,b>0$，求 $\sqrt{\dfrac{1}{(1+a)(1+b)}}$ 的最大值，其中 $a=\tan^2\alpha$，$b=\tan^2\beta$．此时

$$\sqrt{\dfrac{1}{(1+a)(1+b)}}=\dfrac{1}{\sqrt{2+a+b}}\leqslant \dfrac{1}{\sqrt{2+2\sqrt{ab}}}=\dfrac 12,$$ 等号当 $a=b=1$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac 12$．