每日一题[2677]对准

若将函数 $y=\sin \left(\omega x+\dfrac{\pi}{4}\right)$（$\omega>0$）的图像向右平移 $\dfrac{\pi}{3}$ 个单位长度后，与函数 $y=\cos \left(\omega x+\dfrac{\pi}{6}\right)$ 的图像重合，则 $\omega$ 的最小值是（       ）

A．$\dfrac{21}{4}$

B．$\dfrac{19}{4}$

C．$\dfrac{17}{4}$

D．$\dfrac{15}{4}$

答案    B．

解析    根据题意，函数 $y=\sin \left(\omega x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ 的起始零点（导函数为正的零点）为

$$\omega x+\dfrac{\pi}4=2k_1\pi,k_1\in\mathbb Z\iff x=\dfrac{2k\pi}{\omega} -\dfrac{\pi}{4\omega},k_1\in\mathbb Z,$$ 而函数 $y=\cos \left(\omega x+\dfrac{\pi}{6}\right)$ 的起始零点为 $$\omega x+\dfrac{\pi}6=2k_2\pi-\dfrac{\pi}2,k_2\in\mathbb Z\iff x=\dfrac{2k\pi}{\omega}-\dfrac{2\pi}{3\omega},k_2\in\mathbb Z,$$ 因此 $$\left(-\dfrac{\pi}{4\omega}\right)+\dfrac{\pi}3=\left(-\dfrac{2\pi}{3\omega}\right)+\dfrac{2n\pi}{\omega},n\in\mathbb Z,$$ 即 $$\omega =6n-\dfrac{5}4,n\in\mathbb Z,$$ 考虑到 $\omega>0$，于是 $n$ 的最小值为 $1$，$\omega$ 的最小值为 $\dfrac{19}4$．