每日一题[2674]左右逢源

已知双曲线 x2a2y2b2=1a,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过点 F1 且倾斜角为 π6 的直线 l 与双曲线的左、右支分别交于 点 A,B.且 |AF2|=|BF2|,则该双曲线的离心率为_______.

解析    2

不妨设 a=1,双曲线的离心率为 e,设 |AF2|=|BF2|=m,则 |BF1|=m2|AF1|=m+2|F1F2|=2e,取 AB 的中点 M,则 |MF1|=m

RtF2MF1 中,由 MF1F2=π6,可得 |F1F2|=23m|F2M|=m3,进而在 RtF2MA 中可得|AF2|2=|AM|2+|MF2|2m2=4+m23m=6,

于是所求离心率e=|F1F2|2=m3=2.

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