每日一题[2674]左右逢源

已知双曲线 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a, b>0$）的左、右焦点分别为 $F_{1},F_{2}$，过点 $F_{1}$ 且倾斜角为 $\dfrac{\pi}{6}$ 的直线 $l$ 与双曲线的左、右支分别交于 点 $A, B$．且 $\left|A F_{2}\right|=\left|B F_{2}\right|$，则该双曲线的离心率为_______．

解析    $\sqrt 2$．

不妨设 $a=1$，双曲线的离心率为 $e$，设 $|AF_2|=|BF_2|=m$，则 $|BF_1|=m-2$，$|AF_1|=m+2$，$|F_1F_2|=2e$，取 $AB$ 的中点 $M$，则 $|MF_1|=m$．

在 ${\rm Rt}\triangle F_2MF_1$ 中，由 $\angle MF_1F_2=\dfrac{\pi}6$，可得 $|F_1F_2|=\dfrac2{\sqrt 3}m$，$|F_2M|=\dfrac{m}{\sqrt 3}$，进而在 ${\rm Rt}\triangle F_2MA$ 中可得 $$|AF_2|^2=|AM|^2+|MF_2|^2\iff m^2=4+\dfrac{m^2}3\iff m=\sqrt 6,$$ 于是所求离心率 $$e=\dfrac{|F_1F_2|}2=\dfrac{m}{\sqrt 3}=\sqrt 2.$$