已知双曲线 x2a2−y2b2=1(a,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过点 F1 且倾斜角为 π6 的直线 l 与双曲线的左、右支分别交于 点 A,B.且 |AF2|=|BF2|,则该双曲线的离心率为_______.
解析 √2.
不妨设 a=1,双曲线的离心率为 e,设 |AF2|=|BF2|=m,则 |BF1|=m−2,|AF1|=m+2,|F1F2|=2e,取 AB 的中点 M,则 |MF1|=m.
在 Rt△F2MF1 中,由 ∠MF1F2=π6,可得 |F1F2|=2√3m,|F2M|=m√3,进而在 Rt△F2MA 中可得|AF2|2=|AM|2+|MF2|2⟺m2=4+m23⟺m=√6,
于是所求离心率e=|F1F2|2=m√3=√2.