每日一题[2671]欲擒故纵

已知圆 $C:(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=1$，过 $x$ 轴上一点 $A$ 作直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，若 $\overrightarrow{A M}=2 \overrightarrow{M N}$，则点 $A$ 的横坐标的取值范围为_______．

答案    $\left[2-\sqrt {21},2+\sqrt{21}\right]$．

解析    记圆 $C$ 的半径 $r=1$，过 $A$ 作直线 $l$ 交圆 $C$ 于 $S,T$ 两点，且 $A,S,T$ 顺次共线，则 $\dfrac{|AT|}{|AS|}$ 的取值范围是 $\left(1,\dfrac{|AC|+r|}{|AC|-r}\right]$．根据题意，有 $A,M,N$ 顺次共线，且 $\dfrac{|AN|}{|AM|}=\dfrac 32$，因此

$$\dfrac{|AC|+r}{|AC|-r}\leqslant \dfrac 32\iff |AC|\leqslant 5r,$$ 进而可得点 $A$ 的横坐标的取值范围是 $\left[2-\sqrt {21},2+\sqrt{21}\right]$．