每日一题[2669]基本放缩

设函数 $f(x)=\ln (a-x)-x+{\rm e}$．

1、求函数 $f(x)$ 的单调区间．

2、当 $a={\rm e}$ 时，证明：$f({\rm e}-x)<{\rm e}^{x}+\dfrac{x}{2 {\rm e}}$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-\infty,a)$，且 $y=\ln (a-x)$ 和 $y=-x$ 在 $(-\infty,a)$ 上均单调递减，因此函数 $f(x)$ 的单调递减区间为 $(-\infty,a)$，没有单调递增区间．

2、当 $a={\rm e}$ 时，欲证明不等式即 $$\ln x+x<{\rm e}^x+\dfrac{x}{{\rm e}},$$ 而当 $x>0$ 时，有 $${\rm e}^x+\dfrac x{\rm e}>{\rm e}^x\geqslant {\rm e}x>(x-1)+x\geqslant \ln x+x,$$ 因此原命题得证．