每日一题[2666]一波三折

已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，且 $f(x+1)$ 是偶函数，当 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 时 $f(x)=-{\log _{2}}(x+1)$．设 $g(x)=|f(x)|+f(|x|)$，若关于 $x$ 的方程 $g(x)-mx-2=0$ 有 $5$ 个不同的实数解，则实数 $m$ 的取值范围是_______．

答案    $\left(-\dfrac14,-\dfrac 16\right)\cup\left(\dfrac 16,\dfrac 14\right)$．

解析    根据题意 $f(x)$ 是周期为 $4$ 的函数，其图象如图．

进而函数 $y=|f(x)|$ 的图象如图．

而函数 $y=f(|x|)$ 的图象如图．

关于 $x$ 的方程 $g(x)-mx-2=0$ 的实数解个数即函数 $g(x)$ 的图象与过点 $(0,2)$ 斜率为 $m$ 的直线 $l$ 的公共点个数．注意到函数 $g(x)$ 为偶函数，考虑 $m\geqslant 0$ 的情形，此时公共点均在 $y$ 轴右侧，如图．当直线 $l$ 的横截距在 $(8,12)$ 时，公共点个数为 $5$，进而可得实数 $m$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac14,-\dfrac 16\right)\cup\left(\dfrac 16,\dfrac 14\right)$．