每日一题[2658]斜率积定义

已知椭圆 C:x24+y23=1 的左、右顶点分别为 M,N,右焦点为 F,点 P,Q 在椭圆 C 上,P,Q 异于 M,N,且关于原点对称,点 P 的纵坐标大于点 Q 的纵坐标;若点 A(0,yA),B(0,yB) 分别在直线 MP,MQ 上,记四边形 MAFB 的面积为 S,若 S 恒成立,则实数 \lambda 的取值范围为_______.

答案    \left(-\infty,3\sqrt 3\right]

解析    根据椭圆的斜率积定义,直线 MP,MQ 的斜率之积 k_1k_2=-\dfrac 34,于是点 A,B 的纵坐标为 2k_1,2k_2,因此四边形 MAFB 的面积S=3[\triangle NAB]=3\cdot \dfrac 12\cdot |AB|\cdot d(N,AB)=3|k_1-k_2|=3\left|k_1+\dfrac 3{4k_1}\right|\geqslant 3\sqrt 3,等号当 k_1=\pm\dfrac{\sqrt 3}2 时取得,因此实数 \lambda 的取值范围是 \left(-\infty,3\sqrt 3\right]

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