已知椭圆 C:x24+y23=1 的左、右顶点分别为 M,N,右焦点为 F,点 P,Q 在椭圆 C 上,P,Q 异于 M,N,且关于原点对称,点 P 的纵坐标大于点 Q 的纵坐标;若点 A(0,yA),B(0,yB) 分别在直线 MP,MQ 上,记四边形 MAFB 的面积为 S,若 S⩾λ 恒成立,则实数 λ 的取值范围为_______.
答案 (−∞,3√3].
解析 根据椭圆的斜率积定义,直线 MP,MQ 的斜率之积 k1k2=−34,于是点 A,B 的纵坐标为 2k1,2k2,因此四边形 MAFB 的面积S=3[△NAB]=3⋅12⋅|AB|⋅d(N,AB)=3|k1−k2|=3|k1+34k1|⩾3√3,
等号当 k1=±√32 时取得,因此实数 λ 的取值范围是 (−∞,3√3].