每日一题[2652]邪不胜正

已知函数 $f(x)=x-a \ln x$（$a \in \mathbb{R}$）的导函数为 $f^{\prime}(x)$．

1、若 $a=-1$，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程．

2、若不等式 $a f^{\prime}(x)+x f(x) \leqslant x^{2}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

解析

1、根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=1-\dfrac ax,$$ 于是 $f(1)=1$，$f'(1)=2$，从而所求切线方程为 $2x-y-1=0$．

2、根据题意，有 $$\forall x>0,a\left(1-\dfrac ax\right)-x(x-a\ln x)\leqslant x^2,$$ 即 $$\forall x>0,a\left(a-x+x^2\ln x\right)\geqslant 0,$$ 也即 $$a=0\lor \begin{cases} a>0,\\ \forall x>0,a\geqslant x-x^2\ln x,\end{cases}\lor \begin{cases} a<0,\\ \forall x>0,a\leqslant x-x^2\ln x.\end{cases}$$ 设 $g(x)=x-x^2\ln x$，则其导函数 $$g'(x)=1-x-2x\ln x,$$ 注意到 $g'(1)=0$，当 $0<x<1$ 时，有 $$\begin{cases} 1-x>0,\\ 2x\ln x<0,\end{cases}\implies g'(x)>0,$$ 当 $x>1$ 时，有 $$\begin{cases} 1-x<0,\\ 2x\ln x>0,\end{cases}\implies g'(x)<0,$$ 因此 $g(x)$ 的极大值亦为最大值为 $g(1)=1$．这样就有当 $a>0$ 时，实数 $a$ 的取值范围是 $[1,+\infty)$． 另一方面，当 $x\geqslant \max\{-a,{\rm e}\}$ 时，有 $$g(x)=x-x^2\ln x<x-x^2<x-2x=-x\leqslant a,$$ 因此当 $a<0$ 时，没有符合题意的实数 $a$． 综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\{0\}\cup [1,+\infty)$．