已知函数 $f(x)=x-a \ln x$（$a \in \mathbb{R}$）的导函数为 $f^{\prime}(x)$．
1、若 $a=-1$，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程．
2、若不等式 $a f^{\prime}(x)+x f(x) \leqslant x^{2}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
解析
1、根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=1-\dfrac ax,\]于是 $f(1)=1$，$f'(1)=2$，从而所求切线方程为 $2x-y-1=0$．
2、根据题意，有\[\forall x>0,a\left(1-\dfrac ax\right)-x(x-a\ln x)\leqslant x^2,\]即\[\forall x>0,a\left(a-x+x^2\ln x\right)\geqslant 0,\]也即\[a=0\lor \begin{cases} a>0,\\ \forall x>0,a\geqslant x-x^2\ln x,\end{cases}\lor \begin{cases} a<0,\\ \forall x>0,a\leqslant x-x^2\ln x.\end{cases}\]设 $g(x)=x-x^2\ln x$，则其导函数\[g'(x)=1-x-2x\ln x,\]注意到 $g'(1)=0$，当 $0<x<1$ 时，有\[\begin{cases} 1-x>0,\\ 2x\ln x<0,\end{cases}\implies g'(x)>0,\]当 $x>1$ 时，有\[\begin{cases} 1-x<0,\\ 2x\ln x>0,\end{cases}\implies g'(x)<0,\]因此 $g(x)$ 的极大值亦为最大值为 $g(1)=1$．这样就有当 $a>0$ 时，实数 $a$ 的取值范围是 $[1,+\infty)$． 另一方面，当 $x\geqslant \max\{-a,{\rm e}\}$ 时，有\[g(x)=x-x^2\ln x<x-x^2<x-2x=-x\leqslant a,\]因此当 $a<0$ 时，没有符合题意的实数 $a$． 综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\{0\}\cup [1,+\infty)$．