每日一题[2632]联立消参

设 $a>0$，$A(2 a, 0)$，$B(0,2)$，$O$ 为坐标原点，则以 $O A$ 为弦，且与 $A B$ 相切于点 $A$ 的圆的标准方程为_______；若该圆与以 $O B$ 为直径的圆相交于第一象限内的点 $P$（该点称为直角 $\triangle O A B$ 的 ${\rm Brocard }$ 点），则点 $P$ 横坐标 $x$ 的最大值为_______

答案    $(x-a)^2+(y+a^2)^2=a^2+a^4$；$\dfrac45$．

解析    根据题意，以 $O A$ 为弦，且与 $A B$ 相切于点 $A$ 的圆的圆心 $Q(a,-a^2)$，于是所求圆的标准方程为

$$(x-a)^2+(x+a^2)^2=a^2+a^4,$$ 以 $OB$ 为直径的圆的方程为 $$x^2+(y-1)^2=1,$$ 联立可得点 $P(x,y)$ 满足 $$\begin{cases} y=tx,\\ x=\dfrac{2}{t+\dfrac 1t},\end{cases}$$ 其中 $t=\dfrac{a}{1+a^2}$，$t$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 12\right]$，因此 $x$ 的最大值为 $\dfrac 45$，等号当 $a=1$ 时取得．