每日一题[2631]不完整的弧

如图，已知正三棱台 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 的上、下底面边长 分别为 $2$ 和 $3$，侧棱长为 $1$，点 $P$ 在侧面 $B C C_1 B_1$ 内运动（包含边界），且 $A P$ 与平面 $B C C_1 B_1$ 所成角的正切值为 $\sqrt{6}$，则（       ）

A．$C P$ 长度的最小值为 $\sqrt{3}-1$

B．存在点 $P$，使得 $A P \perp B C$

C．存在点 $P$，存在点 $Q \in B_1 C_1$，使得 $A P \parallel A_1 Q$

D．所有满足条件的动线段 $A P$ 形成的曲面面积为 $\dfrac{\sqrt{7}}{3} \pi$

答案    ACD．

解析    将三棱台补全成为三棱锥 $O-ABC$，则该三棱锥是棱长为 $3$ 个正四面体，进而 $A$ 在面 $OBC$ 上的投影 $H$ 为 $B_1C_1$ 的中点，且 $AH=\sqrt 6$，于是 $PH=1$，进而 $P$ 在以 $H$ 为圆心 $1$ 为半径的圆上运动，考虑到 $P$ 在面 $OBC$ 上，于是 $P$ 点的运动轨迹是两段圆弧 $B_1M,NC_1$，其中 $M,N$ 是 $BC$ 的三等分点，如图．

对于选项 $\boxed{A}$，$CP$ 长度的最小值为 $CH-PH=\sqrt 3-1$，命题正确；

对于选项 $\boxed{B}$，若 $AP\perp BC$，则根据三垂线定理，可得 $PH\perp BC$，命题错误；

对于选项 $\boxed{C}$，当 $P=M,N$ 时符合题意，命题正确；

对于选项 $\boxed{D}$，所求曲面面积为 $\dfrac 12\cdot \dfrac{\pi}3\cdot \sqrt 7\cdot 2=\dfrac{\sqrt 7}3\pi$．

综上所述，符合题意的选项为$\boxed{A}$$\boxed{C}$$\boxed{D}$．