每日一题[2615]极值判定

已知函数 $f(x)={\rm e}^x-x-a x \ln (x+1)-1$．

1、若 $a=0$，求 $f(x)$ 的最小值．

2、函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处有极大值，求实数 $a$ 的取值范围．

解析

1、当 $a=0$ 时，有 $f(x)={\rm e}^x-x^2-1$，于是其导函数

$$f'(x)={\rm e}^x-1,$$ 于是函数 $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 上单调递减，在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=0$ 处取得极小值，也为最小值，因此所求 $f(x)$ 的最小值为 $f(0)=0$．

2、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)={\rm e}^x-1-a\left(\ln (1+x)+\dfrac{x}{1+x}\right),$$ 其二阶导函数为 $$f''(x)={\rm e}^x-\dfrac{a(2+x)}{(1+x)^2},$$ 函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处有极大值，于是 $$\begin{cases} f'(0)=0,\\ f''(0)<0,\end{cases}\iff 1-2a<0,$$ 因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\dfrac 12,+\infty\right)$．