已知函数 f(x)=23x3−mx2+m2x（m∈R）的导函数为 f′(x)．
1、若函数 g(x)=f(x)−f′(x) 存在极值，求 m 的取值范围．
2、设函数 h(x)=f′(ex)+f′(lnx)，对任意 m∈R，若关于 x 的不等式 h(x)⩾m2+k2 在 (0,+∞) 上恒成立，求正整数 k 的取值集合．
解析
1、函数 f(x) 的导函数f′(x)=2x2−2mx+m2,
于是g(x)=23x3−(m+2)x2+(m2+2m)x−m2,
于是其导函数g′(x)=2x2−2(m+2)+m2+2m,
该函数存在极值，于是 g′(x) 有变号零点，因此Δ=4(m+2)2−8(m2+2m)>0⟺4−m2>0⟺−2<m<2,
因此实数 m 的取值范围为 (−2,2)．
2、根据题意，有h(x)=2e2x−2mex+2ln2x−2mlnx+2m2,
于是∀(m∈R)∧(x∈R+), 2e2x−2mex+2ln2x−2mlnx+2m2⩾m2+k2,
于是∀(m∈R)∧(x∈R+), k2⩽m2−2(ex+lnx)⋅m+2e2x+2ln2x,
即∀(m∈R)∧(x∈R+), k2⩽(m−e2−lnx)2+(ex−lnx)2,
即∀x∈R+, k⩽ex−lnx,
接下来估计 p(x)=ex−lnx 的最小值．由 p(x) 的导函数p′(x)=ex−1x,
于是 p(x) 的最小值为M=em−lnm,
其中 em−1m=0 即 lnm=−m，因此 M=m+1m，由1−1m<lnm=−m<m−1⟹12<m<−1+√52,
从而可得 M(√5,2.5)，因此正整数 k 的取值集合为 {1,2}．