每日一题[2610]极值估计

已知关于 $x$ 的函数 $g(x)=\dfrac{2}{x}-a \ln x$（$a \in \mathbb R$），$f(x)=x^2+g(x)$．

1、试求函数 $g(x)$ 的单调区间．

2、若 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内有极值，试求 $a$ 的取值范围．

3、$a>0$ 时，若 $f(x)$ 有唯一的零点 $x_0$，试求不超过 $x_0$ 的最大整数．

解析

1、函数 $g(x)$ 的导函数 $$g'(x)=-\dfrac{ax+2}{x^2},$$ 因此当 $a\geqslant 0$ 时，函数 $g(x)$ 没有单调递增区间，单调递减区间是 $(0,+\infty)$；当 $a<0$ 时，函数 $g(x)$ 的单调递增区间是 $\left(-\dfrac 2a,+\infty\right)$，单调递减区间是 $\left(0,-\dfrac 2a\right)$．

2、函数 $f(x)=x^2+\dfrac 2x-a\ln x$，其导函数 $$f'(x)=\dfrac{2x^2-\dfrac 2x-a}{x},$$ 函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内有极值，于是方程 $$a=2x^2-\dfrac 2x$$ 在 $(0,1)$ 上有变号零点，注意到方程右侧函数（记为 $h(x)$）在 $(0,1)$ 上单调递增，因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}h(x),h(1)\right)$，即 $(-\infty,0)$．

3、当 $a>0$ 时，有 $f(x)$ 在 $x\in (0,1)$ 上满足 $f(x)>0$，于是函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上没有零点．根据第 $(2)$ 小题的结果，若 $f(x)$ 有唯一零点 $x_0$，则 $$\begin{cases} 2x_0^2-\dfrac 2{x_0}-a=0,\\ x_0^2+\dfrac2{x_0}-a\ln x_0=0,\end{cases}$$ 因此 $$x_0^2+\dfrac{2}{x_0}-\left(2x_0^2-\dfrac 2{x_0}\right)\ln x_0=0\iff \ln x_0-\dfrac{x_0^3+2}{2x_0^3-2}=0,$$ 设 $r(x)=\ln x-\dfrac{x^3+2}{2x^3-2}$，则其导函数 $$r'(x)=\dfrac{2+5x^3+2x^6}{2x(-1+x^3)^2}>0,$$ 因此 $r(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增．考虑到 $$r(2)=\ln 2-\dfrac{5}{7}<\dfrac{1}{\sqrt 2}-\dfrac{1}{1.4}<0,\quad r(3)=\ln 3-\dfrac{29}{52}>1-\dfrac{29}{52}>0,$$ 因此 $x_0\in (2,3)$，从而不超过 $x_0$ 的最大整数为 $2$，其中用到了 $$\ln \sqrt 2<\dfrac 12\left(\sqrt 2-\dfrac{1}{\sqrt 2}\right)\implies \ln 2<\dfrac{1}{\sqrt 2}.$$