每日一题[2607]分离变量

已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{3} a x^3+x^2$（$a>0$）．

1、求函数 $y=f(x)$ 的极值．

2、若存在实数 $x_0 \in(-1,0)$，且 $x_0 \neq-\dfrac{1}{2}$，使得 $f\left(x_0\right)=f\left(-\dfrac{1}{2}\right)$，求实数 $a$ 的取值范围．

解析

1、根据题意，有

$$f'(x)=ax^2+2x=x(ax+2),$$ 于是函数 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,-\dfrac 2a\right)$ 上单调递增，在 $\left(-\dfrac 2a,0\right)$ 上单调递减，在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，因此在 $x=-\dfrac 2a$ 处取得极大值 $\dfrac{4}{3a^2}$，在 $x=0$ 处取得极小值 $0$．

2、方程 $f(x)=f\left(-\dfrac 12\right)$ 即

$$\dfrac 1{24}\left(8ax^3+24x^2+a-6\right)=0,$$ 也即 $$(2x+1)(4ax^2+(12-2a)x+a-6)=0,$$ 根据题意，方程 $$4ax^2+(12-2a)x+a-6=0$$ 在 $x\in(-1,0)$ 上有不等于 $-\dfrac 12$ 的实数解，该方程即 $$a=\dfrac{-12x+6}{4x^2-2x+1},$$ 设方程右侧函数为 $g(x)$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{48x(x-1)}{(4x^2-2x+1)^2},$$ 于是函数 $g(x)$ 在 $(-1,0)$ 上单调递增，于是实数 $a$ 的取值范围是 $$\left(g(-1),g(0)\right)\setminus \left\{g\left(-\dfrac 12\right)\right\}=\left(\dfrac{18}7,4\right)\cup \left(4,6\right).$$