每日一题[2605]分离变量

已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{2} x^2+3 x-a(x+3 \ln x)$（$a \in \mathbb{R}$）．

1、若函数 $f(x)$ 的极小值为 $3 a-\dfrac{a^2}{2}$，求 $a$ 的值．

2、设函数 $g(x)=x^2+(1-2 a) x-a \ln x$，若函数 $y=f(x)$ 的图象与 $y=g(x)$ 的图象有两个不同的公共点，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$，其导函数

$$f'(x)=x+3-a\left(1+\dfrac 3x\right)=\dfrac{(x+3)(x-a)}{x},$$ 于是当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，没有极值点；当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处取得极小值 $$f(a)=\dfrac 12a^2+3a-a(a+3\ln a)=3a-\dfrac 12a^2-3a\ln a,$$ 因此若函数 $f(x)$ 的极小值为 $3 a-\dfrac{a^2}{2}$，则 $$3a-\dfrac 12a^2-3a\ln a=3a-\dfrac{a^2}2\iff a=1,$$ 因此 $a$ 的值为 $1$．

2、根据题意，方程 $f(x)=g(x)$ 即

$$(2x-4\ln x)a+4x-x^2=0,$$ 注意到 $$2x-4\ln x=2x-4\ln\dfrac x2-4\ln 2\geqslant 2x-4\left(\dfrac x2-1\right)-4\ln 2=4(1-\ln 2)>0,$$ 因此方程 $f(x)=g(x)$ 即 $$a=\dfrac{x^2-4x}{2x-4\ln x},$$ 设方程右侧为函数 $h(x)$，则其导函数 $$h'(x)=\dfrac{(x-2)(4+x-4\ln x)}{2(x-2\ln x)^2},$$ 于是 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&0^+&(0,2)&2&(2,+\infty)&+\infty\\ \hline h(x)&0&\searrow&\dfrac{1}{\ln 2-1}&\nearrow&+\infty\\ \hline\end{array}$$ 因此所求实数 $a$ 的取值范围为 $\left(\dfrac{1}{\ln 2-1},0\right)$．