每日一题[2598]凸函数之争

已知函数 $f(x)=\ln x+a x^2$（$a \in \mathbb{R}$）．

1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．

2、设 $g(x)=f(x)-a x$，讨论函数 $g(x)$ 的零点个数．

解析

1、函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$，导函数 $$f'(x)=\dfrac{1+2ax^2}{x},$$ 于是当 $a\geqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减；当 $a<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\sqrt{\dfrac{1}{-2a}}\right)$ 上单调递增，在 $\left(\sqrt{\dfrac{1}{-2a}},+\infty\right)$ 上单调递减．

2、根据题意，函数 $g(x)=\ln x+ax(x-1)$，其导函数 $$g'(x)=\dfrac{2ax^2-ax+1}{2}.$$

情形一     $a\geqslant 0$．此时当 $x>1$ 时，$g(x)>0$，当 $0<x<1$ 时，$g(x)<0$，因此函数 $g(x)$ 有唯一零点 $x=1$．

情形二     $a<0$．此时函数 $g(x)$ 在 $(0,m)$ 上单调递增，在 $(m,+\infty)$ 上单调递减，在 $x=m$ 处取得极大值，也为最大值，其中 $$m=\dfrac{a-\sqrt{a(a-8)}}{4a}=\dfrac{1+\sqrt{1-\dfrac8 a}}4,$$ 因此当 $a=-1$ 时，$g(x)$ 的最大值为 $g(1)=0$，零点个数为 $1$；当 $a\ne -1$ 时，$g(x)$ 的最大值为 $g(m)>0$，而当 $x\to 0$ 和 $x\to +\infty$ 时，都有 $g(x)\to -\infty$，因此函数 $g(x)$ 的零点个数为 $2$．

综上所述，函数 $g(x)$ 的零点个数为 $\begin{cases} 1,&a\in \{-1\}\cup [0,+\infty),\\ 2,&a\in (-\infty,-1)\cup(-1,0).\end{cases}$