每日一题[2594]参数转化

已知函数 $f(x)=x^2+a x+\ln x$，$a \in\mathbb R$．

1、若函数 $f(x)$ 存在两个极值，求 $a$ 的取值范围，并证明：函数 $f(x)$ 存在唯一零点．

2、若存在实数 $x_1, x_2$，使 $f^{\prime}\left(x_1\right)+f^{\prime}\left(x_2\right)=0$，且 $x_2<x_1<2 x_2$，求 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=2x+\dfrac 1x+a,$$ 若函数 $f(x)$ 存在两个极值，则 $f'(x)$ 有两个变号零点，由 $y=-2x-\dfrac 1x$ 的图象与性质可得实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-2\sqrt 2\right)$．函数 $f(x)$ 的极值 $$T=t^2+at+\ln t,$$ 其中 $2t+\dfrac 1t+a=0$，于是 $$T=t^2+t\left(-2t-\dfrac 1t\right)+\ln t=-t^2-1+\ln t\leqslant -t^2-1+(t-1)=-t^2+t-2<0,$$ 因此函数 $f(x)$ 的极值均为负数，又当 $x\to +\infty$ 时，$f(x)\to +\infty$，因此函数 $f(x)$ 存在唯一零点．

2、根据题意，有 $$\begin{cases} f'(x_1)+f'(x_2)=0,\\ x_2<x_1<2x_2,\end{cases}\iff \begin{cases} 2x_1+\dfrac1{x_1}+2x_2+\dfrac{1}{x_2}+2a=0,\\ 1<\dfrac{x_1}{x_2}<2,\end{cases}$$ 因此 $$f(x_1)-f(x_2)=(x_1^2+ax_1+\ln x_1)-(x_2^2+ax_2+\ln x_2)=-\dfrac 12\left(\dfrac{x_1}{x_2}-\dfrac{x_2}{x_1}\right)+\ln\dfrac{x_1}{x_2},$$ 设 $t=\dfrac{x_1}{x_2}$，$h(t)=-\dfrac 12\left(t-\dfrac 1t\right)+\ln t$（$t\in (1,2)$），则 $$h'(t)=-\dfrac{(t+1)^2}{2t^2},$$ 于是 $h(t)$ 单调递减，从而所求取值范围是 $(h(2),h(1))$，即 $\left(-\dfrac 34+\ln 2,0\right)$．