每日一题[2592]复合嵌套

已知函数 $f(x)=(x+t) \ln x$，若函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线与直线 $x-y=0$ 平行．

1、求 $t$ 的值及函数 $f(x)$ 的单调区间．

2、已知 $a>0$，若函数 $y={\rm e}^{a x}$ 与函数 $y=\dfrac{f\left(\dfrac{1}{x}\right)}{a x}$ 的图像在 $x \in\left(0, \dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)$ 有交点，求实数 $a$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\ln x+\dfrac{x+t}{x},$$ 于是 $f'(1)=t+1$，因此由函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线与直线 $x-y=0$ 平行，可得 $f'(1)=1$，解得 $t=0$，于是 $f(x)=x\ln x$，$f'(x)=\ln x+1$，因此函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(\dfrac{1}{\rm e},+\infty\right)$，单调递减区间是 $\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$．

2、方程 ${\rm e}^{ax}=\dfrac1{ax}f\left(\dfrac 1x\right)$ 即

$${\rm e}^{ax}=\dfrac{\dfrac 1x\ln\dfrac 1x}{ax}\iff ax\cdot {\rm e}^{ax}=\dfrac 1x\ln\dfrac 1x\iff f\left({\rm e}^{ax}\right)=f\left(\dfrac 1x\right),$$ 由于函数 $f(x)$ 在 $x\in\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$ 上单调递增，于是方程 ${\rm e}^{ax}=\dfrac 1x$ 在 $x\in\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$ 上有解，也即 $a=-\dfrac{\ln x}{x}$ 在 $x\in\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$ 上有解，设 $g(x)=-\dfrac{\ln x}{x}$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{-1+\ln x}{x^2},$$ 因此 $g(x)$ 在 $x\in\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$ 上单调递减且当 $x\to 0$ 时，$g(x)\to +\infty$，实数 $a$ 的取值范围是 $({\rm e},+\infty)$．