每日一题[2591]复合嵌套

已知函数 $f(x)=4 {\rm e} \ln x-\dfrac{x^2}{x-{\rm e} \ln x}+2 m x$ 存在 $4$ 个零点，求实数 $m$ 的取值范围．

答案    $\left(0,\dfrac 12\right)$．

解析    方程 $f(x)=0$ 即 $$\dfrac{1}{2-\dfrac{2{\rm e}\ln x}{x}}-\dfrac{2{\rm e}\ln x}{x}=m\iff \begin{cases} m=\dfrac 1{2+t}+t,\\ t=-\dfrac{2{\rm e}\ln x}{x},\end{cases}$$ 设 $g(x)=-\dfrac{2{\rm e}\ln x}{x}$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{2{\rm e}(-1+\ln x)}{x^2},$$ 于是 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&0^+&(0,{\rm e})&{\rm e}&({\rm e},+\infty)&+\infty\\ \hline g(x)&+\infty&\searrow&-2&\nearrow&0\\ \hline\end{array}$$ 因此关于 $x$ 的方程 $t=g(x)$ 的实数解个数为 $\begin{cases} 0,&t<-2,\\ 1,&t\geqslant 0~\text{或}~t=-2,\\ 2,&-2<t<0.\end{cases}$ 设 $h(x)=\dfrac{1}{2+x}+x$，则关于 $t$ 的方程 $m=h(t)$ 在 $t\in (-2,0)$ 上有 $2$ 个零点，因此实数 $m$ 的范围是 $\left(h(-1),h(0)\right)$，即 $\left(0,\dfrac 12\right)$．