每日一题[2590]复合嵌套

已知函数若函数 $f(x)=\left(2 a x+\dfrac{\ln x}{x}\right) \ln x-(a-1) x^3$ 有三个不同的零点，求实数 $a$ 的取值范围．

答案    $\left(1, \dfrac{4 {\rm e}^2+1}{4 {\rm e}^2-4 {\rm e}}\right)$．

解析    根据题意，方程 $f(x)=0$ 即 $$\left(2a+\dfrac{\ln x}{x^2}\right)\dfrac{\ln x}{x^2}-(a-1)=0\iff a=\dfrac{t^2+1}{1-2t},$$ 其中 $t=\dfrac{\ln x}{x^2}$．设 $g(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{x(1-2\ln x)}{x^2},$$ 因此 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&0^+&\left(0,\sqrt{\rm e}\right)&\sqrt{\rm e}&\left(\sqrt{\rm e},+\infty\right)&+\infty\\ \hline g(x)&-\infty&\nearrow&\dfrac{1}{2{\rm e}}&\searrow&0\\ \hline\end{array}$$ 因此方程 $t=\dfrac{\ln x}{x}$ 的实数解个数为 $\begin{cases} 0,&t>\dfrac{1}{2{\rm e}},\\ 1,&t\leqslant 0~\text{或}~t=\dfrac{1}{2{\rm e}},\\ 2,&0<t<\dfrac{1}{2{\rm e}}.\end{cases}$ 因此关于 $t$ 的方程 $a=\dfrac{t^2+1}{1-2t}$ 有两个实数解，分别在区间 $\left(0,\dfrac{1}{2{\rm e}}\right)$ 和 $(-\infty,0]\cup\left\{\dfrac{1}{2{\rm e}}\right\}$，设 $h(x)=\dfrac{x^2+1}{1-2x}$，进而可得实数 $a$ 的取值范围是 $\left(h(0),h\left(\dfrac{1}{2{\rm e}}\right)\right)$，即 $\left(1,\dfrac{4{\rm e}^2+1}{4{\rm e}^2-4{\rm e}}\right)$．