每日一题[2585]最值函数

已知 $a \in {\mathbb{R}}$，函数 $f \left(x \right) = 2{x^3} - 3 \left(a + 1 \right){x^2} + 6ax$．

1、若 $a = 1$，求曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $\left(2,f \left(2 \right) \right)$ 处的切线方程．

2、若 $\left|a \right| > 1$，求 $f \left(x \right)$ 在闭区间 $\left[0,2 \left|a \right| \right]$ 上的最小值．

解析

1、本题考查利用导数研究函数的切线，根据导数的几何意义求解即可． 函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=6x^2-6(a+1)x+6a,$$ 于是当 $a=1$ 时，有 $$f(2)=4,\quad f'(2)=6,$$ 因此所求切线方程为 $y=6x-8$．

2、本题考查利用导数研究函数的最值，根据导数的零点分布分类讨论得到最值点的可能位置后比较大小即可． 记 $g \left(a \right)$ 为 $f \left(x \right)$ 在闭区间 $\left[ {0,2 \left|a \right|} \right]$ 上的最小值，由 $f'(x)=6(x-1)(x-a)$，可得讨论分界点为 $a=1$．

情形一    $a > 1$．此时 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \hline x&0& \left(0,1 \right)&1& \left(1,a \right)&a& \left(a,2a \right)&2a\\ \hline f'\left(x\right)& &+&0&-&0&+& \\ \hline f\left(x\right)&0&单调递增&极大值&单调递减&极小值&单调递增&4a^3\\ \hline\end{array}$$ 比较 $f\left(0\right) = 0$ 和 $f\left(a\right) = {a^2} \left(3 - a \right)$ 的大小可得 $$g\left(a\right) = {\begin{cases} 0,&1 < a \leqslant 3, \\ {a^2} \left(3 - a \right),&a > 3. \\ \end{cases}}$$

情形二    $a<1$．此时 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \hline x&0& \left(0,1 \right)&1& \left(1,-2a \right)&-2a\\ \hline f'\left(x\right)& &-&0&+& \\ \hline f\left(x\right)&0&单调递减&极小值&单调递增&-28a^3-24a^2\\ \hline\end{array}$$ 得 $$g\left(a\right) = 3a - 1.$$

综上所述，$f \left(x \right)$ 在闭区间 $\left[0,2 \left|a \right| \right]$ 上的最小值为 $$g \left(a \right) = {\begin{cases} 3a - 1,&a < - 1, \\ 0,&1 < a \leqslant 3, \\ {a^2} \left(3 - a \right),&a > 3. \\ \end{cases}}$$