每日一题[2565]临界位置

已知 $\displaystyle f(x)=\sum\limits_{k=2}^{10}{\left(\lfloor kx\rfloor-k\lfloor x \rfloor\right)}$，其中 $\lfloor r \rfloor$ 为不大于 $r$ 的最大整数．则当 $x\geqslant 0$ 时 $f(x)$ 的能取到的不同值的个数为（       ）

A．$32$

B．$36$

C．$45$

D．$46$

E．无穷多个

答案    A．

解析    设 $x=\lfloor x\rfloor +\{x \}$，则 $\{x\}\in [0,1)$，此时 $$f(x)=\sum\limits_{k=2}^{10}{\left(\big\lfloor k\lfloor x\rfloor +k\{x \}\big\rfloor-k\lfloor x \rfloor\right)}=\sum_{k=2}^{10}\big\lfloor k\{x\}\big\rfloor.$$ 将分母为 $2,3,\cdots, 10$ 的所有最简真分数从小到大排成一列：$a_1,a_2,\cdots,a_m$，这 $m$ 个数将 $[0,1)$ 划分成 $m+1$ 个区间： $$[0,a_1),[a_1,a_2),\cdots,[a_{m-1},a_m),$$ 显然在每个区间上，$f(x)$ 均为常数，且在不同的区间上，$f(x)$ 的取值不同，因此所求个数即 $m+1$．事实上，有 $$m=\sum_{k=2}^{10}\phi(k)=1+2+2+4+2+6+4+6+4=31,$$ 其中 $\phi$ 为欧拉函数，因此所求不同的值的个数为 $32$．