每日一题[2564]参数方程

如图所示，已知抛物线 $C: y^{2}=2 x$，过点 $A(2,0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 有两个交点，若抛物线 $C$ 上存在不同的两点 $M, N$ 关于直线 $l$ 对称，记 $M N$ 的中点为 $T$．

1、求点 $T$ 的轨迹方程．

2、求 $\triangle A M T$ 的面积的最大值．

解析

1、设 $M(2m^2,2m)$，$N(2n^2,2n)$，则 $T(m^2+n^2,m+n)$，$A(2,0)$，于是根据截距坐标公式，有 $$\dfrac{2m^2\cdot 2n-2n^2\cdot 2m}{2n-2m}=2\iff m^2+n^2=1,$$ 进而可得 $T$ 的轨迹方程为 $x=1$（$-\sqrt 2\leqslant y\leqslant \sqrt 2$ 且 $y\ne 0$）．

2、根据三角形的面积坐标公式，有 $$[\triangle AMT]=\dfrac 12[\triangle AMN]=|m-n|\cdot (mn+1)=\dfrac 12t(3-t^2),$$ 其中 $t=|m-n|$．而根据均值不等式，有 $$\dfrac 12 t(3-t^2)=\dfrac 1{2\sqrt 2}\cdot \sqrt{2t^2(3-t^2)(3-t^2)}\leqslant 1,$$ 等号当 $t=\pm 1$ 时确定，因此 $\triangle AMT$ 的面积的最大值为 $1$．