在平面直角坐标系 xOy 中,已知动圆 P 与圆 O1:x2−2x+y2=0 内切,且与直线 x=−2 相切,设动圆圆心 P 的轨迹为曲线 C.
1、求曲线 C 的方程.
2、曲线 C 上存在一点 S(4,y0)(y0>0),不经过点 S 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,若直线 AS,BS 的斜率之和为 2,证明:直线 l 过定点.
解析
1、根据题意,动圆圆心 P 到点 (1,0) 的距离与到直线 x=−1 的距离相等,根据抛物线的定义,可得曲线 C 的方程为 y2=4x.
2、根据题意,有 S(4,4),作平移变换 x′=x−4,y′=y−4,可得抛物线方程变为(y+4)2=4(x+4)⟺y2+8y−4x=0,设此时 AB 的方程为 mx+ny=1,则化齐次联立,可得y2+(8y−4x)(mx+ny)=0⟺(8n+1)y2+(8m−4n)xy−4mx2=0,此时由直线 A′S′,B′S′ 的斜率之和为 2,可得−8m−4n8n+1=2⟺(−4)m+(−6)n=1,因此直线 A′B′ 恒过定点 R′(−4,−6),即原坐标系直线 AB 恒过定点 R(0,−2).