每日一题[2559]化齐次联立

在平面直角坐标系 xOy 中,已知动圆 P 与圆 O1:x22x+y2=0 内切,且与直线 x=2 相切,设动圆圆心 P 的轨迹为曲线 C

1、求曲线 C 的方程.

2、曲线 C 上存在一点 S(4,y0)y0>0),不经过点 S 的直线 lC 交于 A,B 两点,若直线 AS,BS 的斜率之和为 2,证明:直线 l 过定点.

解析

1、根据题意,动圆圆心 P 到点 (1,0) 的距离与到直线 x=1 的距离相等,根据抛物线的定义,可得曲线 C 的方程为 y2=4x

2、根据题意,有 S(4,4),作平移变换 x=x4y=y4,可得抛物线方程变为(y+4)2=4(x+4)y2+8y4x=0,设此时 AB 的方程为 mx+ny=1,则化齐次联立,可得y2+(8y4x)(mx+ny)=0(8n+1)y2+(8m4n)xy4mx2=0,此时由直线 AS,BS 的斜率之和为 2,可得8m4n8n+1=2(4)m+(6)n=1,因此直线 AB 恒过定点 R(4,6),即原坐标系直线 AB 恒过定点 R(0,2)

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