每日一题[2559]化齐次联立

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知动圆 $P$ 与圆 $O_{1}: x^{2}-2 x+y^{2}=0$ 内切，且与直线 $x=-2$ 相切，设动圆圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $C$．

1、求曲线 $C$ 的方程．

2、曲线 $C$ 上存在一点 $S\left(4, y_{0}\right)$（$y_{0}>0$），不经过点 $S$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若直线 $A S, B S$ 的斜率之和为 $2$，证明：直线 $l$ 过定点．

解析

1、根据题意，动圆圆心 $P$ 到点 $(1,0)$ 的距离与到直线 $x=-1$ 的距离相等，根据抛物线的定义，可得曲线 $C$ 的方程为 $y^2=4x$．

2、根据题意，有 $S(4,4)$，作平移变换 $x'=x-4$，$y'=y-4$，可得抛物线方程变为

$$(y+4)^2=4(x+4)\iff y^2+8y-4x=0,$$ 设此时 $AB$ 的方程为 $mx+ny=1$，则化齐次联立，可得 $$y^2+(8y-4x)(mx+ny)=0\iff (8n+1)y^2+(8m-4n)xy-4mx^2=0,$$ 此时由直线 $A'S',B'S'$ 的斜率之和为 $2$，可得 $$-\dfrac{8m-4n}{8n+1}=2\iff (-4)m+(-6)n=1,$$ 因此直线 $A'B'$ 恒过定点 $R'(-4,-6)$，即原坐标系直线 $AB$ 恒过定点 $R(0,-2)$．