每日一题[2557]对称换元

元旦将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛．初赛阶段有个人 晋级赛和团体对决赛．个人晋级赛为“信息连线”题，每位参赛者只有一次挑战机会．比赛规 则为：电脑随机给出错乱排列的五句古诗词和五条相关的诗词背景（如诗词题名、诗词作者等），要求参赛者将它们一一配对，有三对或三对以上配对正确即可晋级．团体对决赛为“诗词问答”题，为了比赛的广泛性，要求以班级为单位，各班级团队的参赛人数不少于 $30$ 人，且 参赛人数为偶数．为了避免答题先后的干扰，当一个班级团队全体参赛者都答题完毕后，电脑会依次显示各人的答题是否正确，并按比赛规则裁定该班级团队是否挑战成功．参赛方式 有如下两种，各班可自主选择其中之一参赛．

方式一：将班级团队选派的 $2n$ 个人平均分成 $n$ 组，每组 $2$ 人．电脑随机分配给同一组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功．若这 $n$ 个小组都闯间关成功，则该班级团队挑战成功．

方式二：将班级团队选派的 $2n$ 个人平均分成 $2$ 组，每组 $n$ 人．电脑随机分配给同一组 $n$ 个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这 $n$ 个人都回答正确，则该小组闯关成功．若这 $2$ 个小组至少有一个小组闯关成功，则该班级团队挑战成功．

1、甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的五组信息有且只有一组能正确配对，其余四组都只能随机配对，求甲同学能晋级的概率．

2、在团体对决赛中，假设你班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数 $p$（$0<p<1$），为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明你的理由．

解析

1、设甲同学正确配对 $3$ 对为事件 $A$，正确配对 $5$ 对为事件 $B$，甲同学能晋级为事件 $C$，则 $C=A+B$，且 $A, B$ 互斥．因为甲同学只有一组能正确配对，其余四组都随机配对，则 $$P(A)=\frac{\dbinom 42}{4!}=\frac{1}{4}, \quad P(B)=\frac{1}{4!}=\frac{1}{24},$$ 从而 $$P(C)=P(A)+P(B)=\frac{1}{4}+\frac{1}{24}=\frac{7}{24},$$ 所以甲同学能晋级的概率为 $\dfrac{7}{24}$．

2、选择方式一时本班团队挑战成功的可能性为 $$p_1=\left(1-(1-p)^2\right)^n,$$ 选择方式二时本班团队挑战成功的可能性为 $$p_2=1-(1-p^n)^2,$$ 于是 $$p_1-p_2=p^n\left((2-p)^n+p^n-2\right).$$ 设 $p=1-x$（$x\in (0,1)$），则根据二项式定理，当 $n\geqslant 2$ 时，有 $$(2-p)^n+p^n=(1+x)^n+(1-x)^n=2+2\dbinom n2x^2+\cdots>2,$$ 从而 $p_1>p_2$，因此应选择第一种方式．

备注    事实上，根据幂平均不等式，即有当 $n\geqslant 2$ 时，不等式 $$\sqrt[n]{\dfrac{(2-p)^n+p^n}2}\geqslant \dfrac{(2-p)+p}2,$$ 且等号当且仅当 $p=1$ 时取得．