每日一题[2555]水落石出

设 $a, b$ 都为正数，$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数，若 $a \mathrm{e}^{a+1}+b<b \ln b$，则（       ）

A．$a b>\mathrm{e}$

B．$b>\mathrm{e}^{a+1}$

C．$a b<\mathrm{e}$

D．$b<\mathrm{e}^{a+1}$

答案    B．

解析  根据题意，有

$$a \mathrm{e}^{a+1}+b<b \ln b\iff a{\rm e}^a<\ln\dfrac{b}{\rm e}\cdot {\rm e}^{\ln\frac{b}{\rm e}},$$ 注意到函数 $f(x)=x{\rm e}^x$ 在 $(-1,+\infty)$ 上单调递增，且 $a,\ln\dfrac b{\rm e}>-1$，因此 $$a<\ln\dfrac b{\rm e}\iff b>{\rm e}^{a+1}.$$