设 $a, b$ 都为正数，$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数，若 $a \mathrm{e}^{a+1}+b<b \ln b$，则（ ）
A．$a b>\mathrm{e}$
B．$b>\mathrm{e}^{a+1}$
C．$a b<\mathrm{e}$
D．$b<\mathrm{e}^{a+1}$
答案 B．
解析 根据题意，有\[a \mathrm{e}^{a+1}+b<b \ln b\iff a{\rm e}^a<\ln\dfrac{b}{\rm e}\cdot {\rm e}^{\ln\frac{b}{\rm e}},\]注意到函数 $f(x)=x{\rm e}^x$ 在 $(-1,+\infty)$ 上单调递增，且 $a,\ln\dfrac b{\rm e}>-1$，因此\[a<\ln\dfrac b{\rm e}\iff b>{\rm e}^{a+1}.\]