每日一题[2545]单射之力

设 $f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的单调函数，对任意 $x>0$ 有 $f(x)>-\dfrac 4x$，$f\left(f(x)+\dfrac 4x\right)=3$，则 $f(8)=$ _______．

答案    $\dfrac 72$．

解析    根据题意，$f$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的单射，因此函数值为 $3$ 的自变量取值唯一，设为 $m$（$m>0$），此时有

$$f(x)+\dfrac 4x=m\iff f(x)=-\dfrac 4x+m,$$ 从而 $$f(m)=-\dfrac 4m+m\implies 3=-\dfrac 4m+m,$$ 解得 $m=4$，因此 $f(8)=-\dfrac 48+4=\dfrac 72$．