每日一题[2535]化齐次联立

如图所示，设 $k>0$ 且 $k\ne 1$，直线 $l:y=kx+1$ 与 $l_1:y=k_1x+1$ 关于直线 $y=x+1$ 对称，直线 $l$ 与 $l_1$ 分别交椭圆 $E:\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 于点 $A,M$ 和 $A,N$．

1、求 $k\cdot k_1$ 的值．

2、求证：对任意的实数 $k$，直线 $MN$ 恒过定点．

解析

1、根据题意，直线 $l$ 与直线 $l_1$ 的倾斜角之和为 $90^\circ$，因此 $k\cdot k_1=1$．

2、在平移变换 $x=x'$，$y=y'+1$ 下，椭圆方程变为

$$E':\dfrac{x'^2}4+y'^2+2y'=0,$$ 设 $M'N':mx'+ny'=1$，化齐次联立可得 $$\dfrac{x'^2}4+y'^2+2y'(mx'+ny')=0,$$ 即 $$(2n+1)\left(\dfrac{y'}{x'}\right)^2+2m\cdot \dfrac{y'}{x'}+\dfrac 14=0,$$ 根据第 $(1)$ 小题的结论，有 $$\dfrac{\frac 14}{2n+1}=1\iff n=-\dfrac 38,$$ 因此直线 $M'N'$ 恒过点 $B'\left(0,-\dfrac 83\right)$，回到原坐标系，直线 $MN$ 恒过定点 $\left(0,-\dfrac 53\right)$．