每日一题[2524]废料利用

一块三棱锥形状的余料 $P-A B C$，其三条侧棱 $P A, P B, P C$ 两两垂直．现需将其切割成直三棱柱，使得直三棱柱的侧棱与原三棱锥的一条侧棱平行或重合，若 $P A=a$，$P B=b$，$P C=c$，则切割得到的直三棱柱的最大体积为_______．（结果用 $a, b, c$ 表示，其中 $a, b, c$ 为正实数）

答案    $\dfrac{2}{27}abc$．

解析    如图，设切割得到的直三棱锥为 $PMN-P_1M_1N_1$．

设 $\dfrac{PP_1}{PC}=x$，则根据相似三角形，可得直三棱柱 $PMN-P_1M_1N_1$ 的底面积\[S\leqslant (1-x)^2\cdot [\triangle PAB]=\dfrac 12(1-x)^2ab,\]因此得直三棱柱 $PMN-P_1M_1N_1$ 的体积\[V\leqslant S\cdot xc=\dfrac12x(1-x)^2abc=\dfrac{2x\cdot (1-x)\cdot (1-x)}{4}abc\leqslant \dfrac{\left(\dfrac 23\right)^3}{4}abc=\dfrac2{27}abc,\]等号当 $\dfrac{PM}{PA}=\dfrac{PN}{PB}=\dfrac 13$，$\dfrac{P_1P}{CP}=\dfrac 23$ 时取得，因此所求最大体积为 $\dfrac{2}{27}abc$．