每日一题[2524]废料利用

一块三棱锥形状的余料 $P-A B C$,其三条侧棱 $P A, P B, P C$ 两两垂直.现需将其切割成直三棱柱,使得直三棱柱的侧棱与原三棱锥的一条侧棱平行或重合,若 $P A=a$,$P B=b$,$P C=c$,则切割得到的直三棱柱的最大体积为_______.(结果用 $a, b, c$ 表示,其中 $a, b, c$ 为正实数)

答案    $\dfrac{2}{27}abc$.

解析    如图,设切割得到的直三棱锥为 $PMN-P_1M_1N_1$.

设 $\dfrac{PP_1}{PC}=x$,则根据相似三角形,可得直三棱柱 $PMN-P_1M_1N_1$ 的底面积\[S\leqslant (1-x)^2\cdot [\triangle PAB]=\dfrac 12(1-x)^2ab,\]因此得直三棱柱 $PMN-P_1M_1N_1$ 的体积\[V\leqslant S\cdot xc=\dfrac12x(1-x)^2abc=\dfrac{2x\cdot (1-x)\cdot (1-x)}{4}abc\leqslant \dfrac{\left(\dfrac 23\right)^3}{4}abc=\dfrac2{27}abc,\]等号当 $\dfrac{PM}{PA}=\dfrac{PN}{PB}=\dfrac 13$,$\dfrac{P_1P}{CP}=\dfrac 23$ 时取得,因此所求最大体积为 $\dfrac{2}{27}abc$.

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每日一题[2524]废料利用》有1条回应

  1. Grice说:

    请问为啥不是$S=(1-x)^2\cdot PAB$啊

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