每日一题[2516]左右护法

已知抛物线 Γ:x2=2pyp>0)和点 N(0,1),且点 M(2,yM) 和线段 MN 的中点均在抛物线 Γ 上.

1、求 p 的值.

2、设点 P,Q 在抛物线 Γ 上,点 R 在曲线 x24+y2=1y<0)上,若线段 PR,QR 的中点均在抛物线 Γ 上,求 PQR 面积 S 的最大值.

解析

1、根据题意,有 M(2,2p),于是 MN 的中点 A(1,1p12).点 A 在抛物线 Γ 上,从而1=2p(1p12)p=1.

2、设 P(2t1,2t21)Q(2t2,2t22)R(2cosθ,sinθ),则 PR,QR 的中点分别为 (t1+cosθ,t21+12sinθ),(t2+cosθ,t22+12sinθ),因此 t1,t2 是关于 t 的方程(t+cosθ)2=2(t2+12sinθ)

的两根,该方程即t22cosθt+sinθcos2θ=0.
根据三角形的面积坐标公式,PQR 的面积S=12|(2t12cosθ)(2t22sinθ)(2t22cosθ)(2t21sinθ)|,=|t1t2||2t1t22(t1+t2)cosθ+sinθ|=8cos2θ4sinθ|2(sinθcos2θ)4cos2θ+sinθ|=6(2sinθ2sin2θ)32513416,
等号当 sinθ=14 时取得,因此所求最大值为 513416

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

每日一题[2516]左右护法》有一条回应

发表回复