每日一题[2516]左右护法

已知抛物线 $\Gamma: x^{2}=2 p y$（$p>0$）和点 $N(0,-1)$，且点 $M\left(2, y_{M}\right)$ 和线段 $M N$ 的中点均在抛物线 $\Gamma$ 上．

1、求 $p$ 的值．

2、设点 $P, Q$ 在抛物线 $\Gamma$ 上，点 $R$ 在曲线 $\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$（$y<0$）上，若线段 $P R, Q R$ 的中点均在抛物线 $\Gamma$ 上，求 $\triangle P Q R$ 面积 $S$ 的最大值．

解析

1、根据题意，有 $M\left(2,\dfrac 2p\right)$，于是 $MN$ 的中点 $A\left(1,\dfrac 1p-\dfrac 12\right)$．点 $A$ 在抛物线 $\Gamma$ 上，从而 $$1=2p\left(\dfrac 1p-\dfrac 12\right)\iff p=1.$$

2、设 $P(2t_1,2t_1^2)$，$Q(2t_2,2t_2^2)$，$R(2\cos\theta,\sin\theta)$，则 $PR,QR$ 的中点分别为 $\left(t_1+\cos\theta,t_1^2+\dfrac 12\sin\theta\right),\left(t_2+\cos\theta,t_2^2+\dfrac 12\sin\theta\right)$，因此 $t_1,t_2$ 是关于 $t$ 的方程 $$(t+\cos\theta)^2=2\left(t^2+\dfrac 12\sin\theta\right)$$ 的两根，该方程即 $$t^2-2\cos\theta\cdot t+\sin\theta-\cos^2\theta=0.$$ 根据三角形的面积坐标公式，$\triangle PQR$ 的面积 $$\begin{split} S&=\dfrac 12\left|(2t_1-2\cos\theta)(2t_2^2-\sin\theta)-(2t_2-2\cos\theta)(2t_1^2-\sin\theta)\right|,\\ &=|t_1-t_2|\cdot |2t_1t_2-2(t_1+t_2)\cos\theta+\sin\theta|\\ &=\sqrt{8\cos^2\theta-4\sin\theta}\cdot \left|2(\sin\theta-\cos^2\theta)-4\cos^2\theta+\sin\theta\right| \\ &=6\left(2-\sin\theta-2\sin^2\theta\right)^{\frac 32}\\ &\leqslant \dfrac{51\sqrt{34}}{16},\end{split}$$ 等号当 $\sin\theta=-\dfrac 14$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac{51\sqrt{34}}{16}$．