已知抛物线 Γ:x2=2py(p>0)和点 N(0,−1),且点 M(2,yM) 和线段 MN 的中点均在抛物线 Γ 上.
1、求 p 的值.
2、设点 P,Q 在抛物线 Γ 上,点 R 在曲线 x24+y2=1(y<0)上,若线段 PR,QR 的中点均在抛物线 Γ 上,求 △PQR 面积 S 的最大值.
解析
1、根据题意,有 M(2,2p),于是 MN 的中点 A(1,1p−12).点 A 在抛物线 Γ 上,从而1=2p(1p−12)⟺p=1.
2、设 P(2t1,2t21),Q(2t2,2t22),R(2cosθ,sinθ),则 PR,QR 的中点分别为 (t1+cosθ,t21+12sinθ),(t2+cosθ,t22+12sinθ),因此 t1,t2 是关于 t 的方程(t+cosθ)2=2(t2+12sinθ)
的两根,该方程即t2−2cosθ⋅t+sinθ−cos2θ=0.
根据三角形的面积坐标公式,△PQR 的面积S=12|(2t1−2cosθ)(2t22−sinθ)−(2t2−2cosθ)(2t21−sinθ)|,=|t1−t2|⋅|2t1t2−2(t1+t2)cosθ+sinθ|=√8cos2θ−4sinθ⋅|2(sinθ−cos2θ)−4cos2θ+sinθ|=6(2−sinθ−2sin2θ)32⩽51√3416,
等号当 sinθ=−14 时取得,因此所求最大值为 51√3416.
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