每日一题[2514]中点处理

已知点 $A, B$ 在双曲线 $x^{2}-y^{2}=4$ 上，线段 $A B$ 的中点为 $M(3,1)$，则 $|A B|=$ （       ）

A．$\sqrt{2}$

B．$2 \sqrt{2}$

C．$\sqrt{5}$

D．$2 \sqrt{5}$

答案    D．

解析    根据双曲线的垂径定理，可得直线 $AB$ 的斜率 $k_{AB}$ 和直线 $OM$ 的斜率 $k_{OM}$（其中 $O$ 为坐标原点）满足 $$k_{AB}\cdot k_{OM}=1\implies k_{AB}=3,$$ 因此设直线 $AB$ 的参数方程为 $\begin{cases} x=3+t,\\ y=1+3t,\end{cases}$，点 $A,B$ 对应的参数为 $\pm t_0$，则 $$|AB|=2\sqrt{10}|t_0|,$$ 其中 $$(3+t_0)^2-(1+3t_0)^2=4\implies |t_0|=\dfrac{1}{\sqrt 2},$$ 因此 $|AB|=2\sqrt 5$．