每日一题[2508]注意断点

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-\dfrac{1}{3} a x^{3}$（$a \in \mathbb{R}$），若函数 $f(x)$ 存在唯一的极小值点，则实数 $a$ 的取值范围是_______．

答案    $\left(0,\dfrac{{\rm e}^2}4\right]$．

解析    根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)={\rm e}^x-ax^2$$ 有唯一的负转正零点．设 $g(x)=\dfrac{{\rm e}^x}{x^2}-a$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{{\rm e}^x(x-2)}{x^3},$$ 从而有 $$\begin{array}{c|cccccccc}\hline x&-\infty&(-\infty,0)&0-&0+&(0,2)&2&(2,+\infty)&+\infty \\ \hline g(x)&-a&\nearrow&+\infty&+\infty&\searrow&\dfrac{{\rm e}^2}4-a&\nearrow&+\infty \\ \hline \end{array}$$ 因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{{\rm e}^2}4\right]$．