每日一题[2506]垂径定理副产品

已知 $A, B$ 为双曲线 $x^{2}-y^{2}=4$ 上两个不同的点，线段 $A B$ 的中点为 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$，$O$ 为坐标原 点，则下列判断正确的是（       ）

A．若 $x_{0}=1$，则 $\left|y_{0}\right|>1$

B．若 $y_{0}=0$，则 $x_{0}=0$

C．若 $\angle A O B>\dfrac{\pi}{2}$，则 $\left|x_{0}\right|<2$

D．若 $\angle A O B<\dfrac{\pi}{2}$，则 $\left|x_{0}\right|>2$

答案    AD．

解析    根据双曲线的垂径定理的等效判别式（双曲线上两点连线中点的覆盖范围）即得．双曲线上同支两点连线中点的覆盖范围是双曲线的内部（包含焦点的那部分），双曲线上不同支两点连线中点的覆盖范围是双曲线渐近线所夹区域（不包含焦点的对角区域）．