每日一题[2504]等效判别式

已知双曲线 $C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>0$，$b>0$），若双曲线不存在以点 $M(2 a, a)$ 为中点的弦，则双曲线离心率 $e$ 的取值范围是（        ）

A．$\left(1, \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}\right]$

B．$\left[\dfrac{\sqrt{5}}{2}, \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}\right]$

C．$\left[\dfrac{2 \sqrt{3}}{3},+\infty\right)$

D．$\left[\dfrac{\sqrt{5}}{2},+\infty\right)$

答案    B．

解析    根据双曲线的垂径定理的相关结论，y有

$$0\leqslant \dfrac{(2a)^2}{a^2}-\dfrac{a}{b^2}\leqslant 1\iff \dfrac 14\leqslant \dfrac{b^2}{a^2}\leqslant \dfrac 13,$$ 因此 $e=\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{\sqrt 5}2,\dfrac{2\sqrt 3}3\right]$．