每日一题[2502]极值点偏移

已知 $a>0$ 且 $a \neq 1$，函数 $f(x)=x^{a}-a^{x}$（$x>0$）．

1、当 $a=2$ 时，设 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$，求 $f^{\prime}(x)$ 的单调区间．

2、若函数 $y=f(x)$ 佮有两个互异的零点 $m, n$（$m>n>0$）．

① 求实数 $a$ 的取值范围；

② 求证：$m n>{\rm e}^{2}$．

解析

1、当 $a=2$ 时，$f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=2x-2^x\ln 2,$$ 其二阶导函数 $$f''(x)=2-2^x\ln^2,$$ 因此 $f^{\prime}(x)$ 的单调递增区间为 $\left(0,{\log_2}\dfrac{2}{\ln^22}\right)$，单调递减区间为 $\left({\log_2}\dfrac{2}{\ln^22},+\infty\right)$．

2、根据题意，有 $$f(x)=0\iff \dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{\ln a}a,$$ 设函数 $g(x)=\dfrac{\ln x}x$，则 $$f'(x)=\dfrac{ 1-\ln x}{x^2},$$ 于是 $$\begin{array}{c|ccccccc}\hline x&0+&(0,1)&1&(1,{\rm e})&{\rm e}&({\rm e},+\infty)&+\infty\\ \hline f(x)&-\infty&\nearrow&0&\nearrow&1&\searrow&0\\ \hline \end{array}$$ 因此实数 $a$ 的取值范围是 $(1,{\rm e})\cup ({\rm e},+\infty)$．设 $$\dfrac{\ln m}{m}=\dfrac{\ln n}{n}=t,$$ 则欲证不等式 $$mn>{\rm e}^2\iff \ln m+\ln n>2\iff \dfrac{m+n}2>\dfrac 1t.$$ 事实上，根据对数平均不等式，有 $$\dfrac 1t=\dfrac{m-n}{\ln m-\ln n}<\dfrac{m+n}2,$$ 命题得证．