已知 $a>0$ 且 $a \neq 1$，函数 $f(x)=x^{a}-a^{x}$（$x>0$）．
1、当 $a=2$ 时，设 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$，求 $f^{\prime}(x)$ 的单调区间．
2、若函数 $y=f(x)$ 佮有两个互异的零点 $m, n$（$m>n>0$）．
① 求实数 $a$ 的取值范围；
② 求证：$m n>{\rm e}^{2}$．
解析
1、当 $a=2$ 时，$f(x)$ 的导函数\[f'(x)=2x-2^x\ln 2,\]其二阶导函数\[f''(x)=2-2^x\ln^2,\]因此 $f^{\prime}(x)$ 的单调递增区间为 $\left(0,{\log_2}\dfrac{2}{\ln^22}\right)$，单调递减区间为 $\left({\log_2}\dfrac{2}{\ln^22},+\infty\right)$．
2、根据题意，有\[f(x)=0\iff \dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{\ln a}a,\]设函数 $g(x)=\dfrac{\ln x}x$，则\[f'(x)=\dfrac{ 1-\ln x}{x^2},\]于是\[\begin{array}{c|ccccccc}\hline x&0+&(0,1)&1&(1,{\rm e})&{\rm e}&({\rm e},+\infty)&+\infty\\ \hline f(x)&-\infty&\nearrow&0&\nearrow&1&\searrow&0\\ \hline \end{array}\]因此实数 $a$ 的取值范围是 $(1,{\rm e})\cup ({\rm e},+\infty)$．设\[\dfrac{\ln m}{m}=\dfrac{\ln n}{n}=t,\]则欲证不等式\[mn>{\rm e}^2\iff \ln m+\ln n>2\iff \dfrac{m+n}2>\dfrac 1t.\]事实上，根据对数平均不等式，有\[\dfrac 1t=\dfrac{m-n}{\ln m-\ln n}<\dfrac{m+n}2,\]命题得证．