每日一题[2495]角度参数

在 $\triangle ABC$ 中，$a = 3$，$b = 2\sqrt 6$，$\angle B = 2\angle A$．

1、求 $\cos A$ 的值．

2、求 $c$ 的值．

解析

1、根据题意，$\triangle ABC$ 的三个内角分别为 $A=x$，$B=2x$，$C=\pi -3x$，于是根据正弦定理，有

$$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}\implies \dfrac{3}{\sin x}=\dfrac{2\sqrt 6}{\sin 2x}\implies \cos x=\dfrac{\sqrt 6}3,$$ 因此 $\cos A$ 的值为 $\dfrac{\sqrt 6}3$．

2、根据正弦定理，有

$$\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{a}{\sin A}\implies \dfrac{c}{\sin 3x}=\dfrac{3}{\sin x},$$ 因此 $$c=3(3-4\sin^2x)=3(4\cos^2x-1)=5.$$