每日一题[2492]三角嵌套

已知函数 $f(x)=\sin(\cos x)+\cos(\sin x)$，则（       ）

A．$f(x)$ 的最大值是 $1+\sin 1$

B．$f(x)$ 的最小值是 $1-\sin 1$

C．$2\pi$ 是 $f(x)$ 的周期

D．以上答案都不对

答案    AC．

解析    根据题意，$2\pi$ 为函数 $f(x)$ 的周期，且 $f(x)$ 关于 $x=\pi$ 对称，因此选项 $\boxed{C}$ 正确．进而函数 $f(x)$ 的最大值即函数 $g(x)=\cos x+\sin \sqrt{1-x^2}$ 在 $x\in [0,1]$ 上的最大值；而函数 $f(x)$ 的最小值即 $h(x)=\cos x-\sin\sqrt{1-x^2}$ 在 $[0,1]$ 上的最小值． 先考虑 $g(x)$ 的最大值．注意到 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递减，因此 $g(x)$ 的最大值为 $g(0)=1+\sin 1$．选项 $\boxed{A}$ 正确． 再考虑 $h(x)$ 的最小值．我们通过证明

$$h\left(\dfrac{\sqrt{2}}2\right)<h(0)=1-\sin 1$$ 来否定 $f(x)$ 的最小值为 $1-\sin 1$．只需要证明 $$1-\sin 1>\cos\dfrac{\sqrt 2}2-\sin\dfrac{\sqrt 2}2\iff 1-\sin 1>\sqrt 2\sin\left(\dfrac{\pi}4-\dfrac{\sqrt 2}2\right),$$ 事实上，有 $$1-\sin 1>1-\sin\dfrac{\pi}3=1-\dfrac{\sqrt 3}2>\sqrt 2\left(\dfrac{\pi}4-\dfrac{\sqrt 2}2\right)>\sqrt 2\sin\left(\dfrac{\pi}4-\dfrac{\sqrt 2}2\right),$$ 其中 $$1-\dfrac{\sqrt 3}2>\sqrt 2\left(\dfrac{\pi}4-\dfrac{\sqrt 2}2\right)\impliedby \sqrt 2\pi+2\sqrt 3<8,$$ 而 $$\sqrt 2\pi+2\sqrt 3<1.42\cdot 3.15+2\cdot 1.74=7.953<8,$$ 结论得证．选项 $\boxed{B}$ 错误． 综上所述，选项 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ 正确．

备注    事实上，有

$$h'(x)=\dfrac{x\cos\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}-\sin x,$$ 且 $$h''(x)=-\cos x+\dfrac{\cos\sqrt{1-x^2}}{(1-x^2)^{\frac 32}}+\dfrac{x^2\sin\sqrt{1-x^2}}{1-x^2},$$ 从而 $$h'(0)=0,\quad h''(0)=-1+\cos 1<0,$$ 因此 $x=0$ 是函数 $h(x)$ 的极大值点，从而 $h(0)$ 不是最小值．