每日一题[2477]推理

设集合 $A=\{1,2, m\}$，其中 $m$ 为实数．令 $B=\left\{a^{2} \mid a \in A\right\}$，$C=A \cup B$．若 $C$ 的所有元素之和为 $6$，则 $C$ 的所有元素之积为_______．

答案    $-8$．

解析    根据题意，$1,2,4,m,m^2$（允许有重复）为 $C$ 的全部可能元素．注意到，当 $m$ 为实数时，有

$$1+2+4+m+m^{2}\geqslant 1+2+4+\left(-\dfrac14\right)>6,$$ 且 $$1+2+4+m^{2}>6,$$ 故 $C=\{1,2,4, m\}$，且 $1+2+4+m=6$．于是 $m=-1$（经检验符合题意），此时 $C$ 的所有元素之积为 $1 \cdot 2\cdot 4 \cdot (-1)=-8$．