每日一题[2474]讨论验证

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$\Gamma_{1}$ 是以 $(2,1)$ 为圆心的单位圆，$\Gamma_{2}$ 是以 $(10,11)$ 为圆心的单位圆．过原点 $O$ 作一条直线 $l$，使得 $l$ 与 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ 各有两个交点，将 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ 共分成四段圆弧，且这四段圆弧中有两段等长．所有满足条件的直线 $l$ 的斜率之和为_______．

答案    $\dfrac{67}{20}$．

解析    按等长的圆弧所在的圆讨论，记 $A(2,1)$，$B(10,11)$，直线 $l$ 的斜率为 $k$，则根据题意，点 $A,B$ 到直线 $l:kx-y=0$ 的距离均小于 $1$，于是

$$\dfrac{|2k-1|}{\sqrt{k^2+1}}<1,\quad \dfrac{|10k-11|}{\sqrt{k^2+1}}<1.$$

情形一    等长的圆弧在同一个圆上．此时直线 $l$ 过点 $A$ 或直线 $l$ 过点 $B$，此时直线 $l$ 的斜率为 $\dfrac 12$ 或 $\dfrac{11}{10}$．

情形二      等长的圆弧不在同一个圆上．此时根据垂径定理，点 $A,B$ 到直线 $l$ 的距离相等，因此直线 $l$ 平行于 $AB$ 或者过 $AB$ 的中点 $(6,6)$，因此直线 $l$ 的斜率为 $\dfrac 54$ 或 $1$．

将情形一、二得到的斜率进行检验，可得所有满足条件的直线 $l$ 的斜率之和为

$$\dfrac {11}{10}+\dfrac 54+1=\dfrac{67}{20}.$$