每日一题[2474]讨论验证

在平面直角坐标系 xOy 中,Γ1 是以 (2,1) 为圆心的单位圆,Γ2 是以 (10,11) 为圆心的单位圆.过原点 O 作一条直线 l,使得 lΓ1,Γ2 各有两个交点,将 Γ1,Γ2 共分成四段圆弧,且这四段圆弧中有两段等长.所有满足条件的直线 l 的斜率之和为_______.

答案    6720

解析    按等长的圆弧所在的圆讨论,记 A(2,1)B(10,11),直线 l 的斜率为 k,则根据题意,点 A,B 到直线 l:kxy=0 的距离均小于 1,于是|2k1|k2+1<1,|10k11|k2+1<1.

情形一    等长的圆弧在同一个圆上.此时直线 l 过点 A 或直线 l 过点 B,此时直线 l 的斜率为 121110

情形二      等长的圆弧不在同一个圆上.此时根据垂径定理,点 A,B 到直线 l 的距离相等,因此直线 l 平行于 AB 或者过 AB 的中点 (6,6),因此直线 l 的斜率为 541

将情形一、二得到的斜率进行检验,可得所有满足条件的直线 l 的斜率之和为1110+54+1=6720.

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