每日一题[2461]同余方程组

在模 $2520$ 的同余系里，满足方程 $a^2\equiv a\pmod {2520}$ 的元素 $a$ 的个数为_______．

答案    $16$．

解析    根据题意，有 $2520=2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$，且 $2520\mid a^2-a$，即 $$5\cdot 7\cdot 8\cdot 9\mid a(a-1),$$ 因此 $a$ 模 $5,7,8,9$ 的余数均为 $0$ 或 $1$．考虑同余方程组 $$\begin{cases} a\equiv r_1\pmod 5,\\ a\equiv r_2\pmod 7,\\ a\equiv r_3\pmod 8,\\ a\equiv r_4\pmod 9,\end{cases}$$ 其中 $r_i\in\{0,1\}$（$i=1,2,3,4$），这样的方程组有 $2^4=16$ 个，且根据中国剩余定理，每个方程组的解在模 $2520$ 的同余系里是唯一的，因此所求 $a$ 的个数为 $\boxed{16}$．