每日一题[2457]瞳

求所有实数 $a,b$，使得在直线 $y=b$ 上满足 $|PF_1|\cdot |PF_2|=1$ 的点恰有两个，其中 $F_1(-a,0)$，$F_2(a,0)$．

答案    $\left(0<a^2+b^2<1\right)||\left(|a|>|b|\&\&|ab|=\dfrac 12\right)$．

解析    设 $P(x,y)$，则根据题意，关于 $x$ 的方程组

$$\sqrt{(x+a)^2+b^2}\cdot \sqrt{(x-a)^2+b^2}=1$$ 有两个实数解．该方程即 $$(x^2-a^2)^2+2b^2(x^2+a^2)+b^4-1=0,$$ 也即 $$x^4+2(b^2-a^2)x^2+(a^2+b^2)^2-1=0.$$ 设 $f(x)=x^2+2(b^2-a^2)x+(a^2+b^2)^2-1$，则 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 有唯一零点，且 $f(0)\ne 0$．

情形一    $f(0)<0$，即 $0<a^2+b^2<1$．此时 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 有唯一零点，符合题意．

情形二     $f(0)>0$．此时

$$\begin{cases} a^2-b^2>0,\\ \Delta=4(b^2-a^2)^2-4(a^2+b^2)^2+4=0,\end{cases}\iff \begin{cases} |a|>|b|,\\ |ab|=\dfrac 12.\end{cases}$$ 因此所有满足条件的 $a,b$ 为 $\left(0<a^2+b^2<1\right)||\left(|a|>|b|\&\&|ab|=\dfrac 12\right)$．