设向量 a,b 满足 a2+b2+a⋅b=1,则 a2−b2 的最大值为_______.
答案 2√33.
设 a2+b2=2x,a2−b2=2y,则 |a|=√x+y,|b|=√x−y,进而根据条件,有|\boldsymbol a\cdot \boldsymbol b|\leqslant |\boldsymbol a|\cdot |\boldsymbol b|\implies |1-2x|\leqslant \sqrt{x+y}\cdot \sqrt{x-y}\implies y^2\leqslant -3x^2+4x-1,因此 2y\leqslant \dfrac{2\sqrt 3}3,且当 x=\dfrac 23 时取得等号,因此所求最大值为 \dfrac{2\sqrt 3}3.