每日一题[2452]消元求值

设向量 a,b 满足 a2+b2+ab=1,则 a2b2 的最大值为_______.

答案    233

a2+b2=2xa2b2=2y,则 |a|=x+y|b|=xy,进而根据条件,有|\boldsymbol a\cdot \boldsymbol b|\leqslant |\boldsymbol a|\cdot |\boldsymbol b|\implies |1-2x|\leqslant \sqrt{x+y}\cdot \sqrt{x-y}\implies y^2\leqslant -3x^2+4x-1,因此 2y\leqslant \dfrac{2\sqrt 3}3,且当 x=\dfrac 23 时取得等号,因此所求最大值为 \dfrac{2\sqrt 3}3

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